如何计算协方差和相关性？
如何在數據分析中計算協方差與相關性
理解變數之間的關係是有效數據分析的基石，尤其在金融、經濟和投資管理等領域。用於量化這些關係的兩個關鍵指標是協方差（Covariance）和相關性（Correlation）。雖然它們是相關概念，但各自具有不同的用途，且計算方式亦不同。本指南將帶你了解如何計算協方差與相關性，並闡明其公式、解讀方式及實務應用。
什麼是協方差？
協方差衡量兩個變數共同變動的程度——它們是否傾向於同時增加或減少。正值協方差表示這些變數大致朝相同方向移動；負值則表示它們呈反向運動。例如，若你分析兩家公司的股價隨時間的變化，一個正值的協方差意味著當其中一隻股票價格上升時，另一隻也傾向於上升。
兩個隨機變數 ( X ) 和 ( Y ) 之間的協方差其數學公式為：
[ \text{Cov}(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] ]
此處：
- ( E[X] ) 和 ( E[Y] ) 分別為 ( X ) 和 ( Y ) 的期望值（平均值），
- 該表達式計算偏離各自平均值後乘積的期望。
在實務中，特別是在樣本資料而非整體母體情況下，此公式會轉換成一個根據觀測資料點估算出的統計量：
[ s_{XY} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) ]
其中：
- ( x_i , y_i ) 為單獨資料點，
- ( n ) 為觀測次數，
- ( ̄x , ̄y ) 為樣本平均。
計算樣本協方差時，我們會將所有配對資料點相乘後求和，再除以自由度（( n−1))。
什麼是相關性？
相關性是在協方差基礎上進行標準化，使其無單位、更易比較。它不僅衡量兩個變數是否一起移動，更描述了移動強度。
皮爾森相關係數 (( r)) 的計算公式為：
[ r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y} ]
其中：
- ( σ_X , σ_Y ) 分別為每個變數的標準偏差，
- 分子為兩者之間的協方差。
由於標準偏差衡量每個變項內部波動範圍，因此除以這些尺度可以將結果限制在 -1 到 +1 範圍內：
- +1 表示完全正線性關係，
- -1 表示完全負線性關係，
- 接近零則代表沒有明顯線性關聯。
用樣本資料來實作此方法：
[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{(n−1)s_x s_y}]
此公式強調：相關性的評估同時考慮每個變項獨立波動程度（透過標準偏差信息）以及這些波動彼此之間的一致程度。
逐步計算協方差
從原始資料開始，可依照以下步驟進行：
- 求均值：分別找出雙端資料集的平均。
- 求偏離：每筆觀測減去均值。
- 相乘偏離：配對元素相乘。
- 加總：所有乘積相加。
- 除以自由度：通常除以( n−1, )來得到無偏估計。
逐步計算法則類似，用來確定雙端資料集中的合作趨勢與幅度大小，是理解二者共同運作的重要工具。
逐步計算相關性
取得了协方差信息後，可以進一步求得相关系数：
- 求標準偏差：分別針對雙端資料集做出。
- 套用公式：將已得协变量除以两者标准偏离数之积。
- 解讀結果：接近 ±１ 表示強烈線性依存；接近零則代表弱或無明顯線性關聯。
實務應用於金融與投資領域
投資者常利用這些指標進行決策，例如：
- 投資組合多元化依賴了解資產間之相关关系；低或負相关资产有助降低整體風險。
- 風險管理模型融入資產间协变关系，以預測市場不同狀況下潛在波動率。
- 在加密貨幣市場中，由於高波动率且与传统资产如股票或黄金之间存在不同程度关联——精确计算有助于制定避险策略或多元配置方案。
先進技術與考慮因素
現代金融分析越來越倚重複雜的方法，如copula函式，用來建模超越簡單线性交互作用之外更複雜依赖关系——尤其重要，在加密貨幣市场剧烈变动时表现尤为明显。此外，大型数据集也促使機器學習算法能夠动态更新估计，提高預測准確率，但需注意高维数据可能带来的过拟合风险。。
理解限制与风险儘管这些工具非常实用，用于评估关系时仍需留意潜在风险，
• 高相关系数可能让投资者产生虚假安全感，如果基础假设突然发生变化——特别是在市场危机期间，加密货币中的相关系数可能会突然飙升；• 若存在非线性的依赖关系，而未被简单皮尔森系数捕捉，则可能导致误判，此时使用斯皮尔曼等级相关等其他指标会更适合一些。
對於数据分析师与投资者的重要启示掌握如何准确计算协变与相关系数，有助于进行更佳风险评估，无论是在管理多元组合还是研究新兴资产类别如加密货币，都能提供更具信息价值的数据洞察，从而支持更理性的决策制定。在结合先进统计模型并理解其局限后，你可以显著增强你的分析工具箱，有效应对复杂多变的金融环境。
无论你是一名追求最优投资组合配置策略的钱包持有人，还是希望精准建模变量间依赖关系的数据分析师，这项技能都将在从你的数据集中提取有意义见解方面发挥关键作用。
Lo
2025-05-20 06:29
如何计算协方差和相关性？
如何在數據分析中計算協方差與相關性
理解變數之間的關係是有效數據分析的基石，尤其在金融、經濟和投資管理等領域。用於量化這些關係的兩個關鍵指標是協方差（Covariance）和相關性（Correlation）。雖然它們是相關概念，但各自具有不同的用途，且計算方式亦不同。本指南將帶你了解如何計算協方差與相關性，並闡明其公式、解讀方式及實務應用。
什麼是協方差？
協方差衡量兩個變數共同變動的程度——它們是否傾向於同時增加或減少。正值協方差表示這些變數大致朝相同方向移動；負值則表示它們呈反向運動。例如，若你分析兩家公司的股價隨時間的變化，一個正值的協方差意味著當其中一隻股票價格上升時，另一隻也傾向於上升。
兩個隨機變數 ( X ) 和 ( Y ) 之間的協方差其數學公式為：
[ \text{Cov}(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] ]
此處：
- ( E[X] ) 和 ( E[Y] ) 分別為 ( X ) 和 ( Y ) 的期望值（平均值），
- 該表達式計算偏離各自平均值後乘積的期望。
在實務中，特別是在樣本資料而非整體母體情況下，此公式會轉換成一個根據觀測資料點估算出的統計量：
[ s_{XY} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) ]
其中：
- ( x_i , y_i ) 為單獨資料點，
- ( n ) 為觀測次數，
- ( ̄x , ̄y ) 為樣本平均。
計算樣本協方差時，我們會將所有配對資料點相乘後求和，再除以自由度（( n−1))。
什麼是相關性？
相關性是在協方差基礎上進行標準化，使其無單位、更易比較。它不僅衡量兩個變數是否一起移動，更描述了移動強度。
皮爾森相關係數 (( r)) 的計算公式為：
[ r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y} ]
其中：
- ( σ_X , σ_Y ) 分別為每個變數的標準偏差，
- 分子為兩者之間的協方差。
由於標準偏差衡量每個變項內部波動範圍，因此除以這些尺度可以將結果限制在 -1 到 +1 範圍內：
- +1 表示完全正線性關係，
- -1 表示完全負線性關係，
- 接近零則代表沒有明顯線性關聯。
用樣本資料來實作此方法：
[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{(n−1)s_x s_y}]
此公式強調：相關性的評估同時考慮每個變項獨立波動程度（透過標準偏差信息）以及這些波動彼此之間的一致程度。
逐步計算協方差
從原始資料開始，可依照以下步驟進行：
- 求均值：分別找出雙端資料集的平均。
- 求偏離：每筆觀測減去均值。
- 相乘偏離：配對元素相乘。
- 加總：所有乘積相加。
- 除以自由度：通常除以( n−1, )來得到無偏估計。
逐步計算法則類似，用來確定雙端資料集中的合作趨勢與幅度大小，是理解二者共同運作的重要工具。
逐步計算相關性
取得了协方差信息後，可以進一步求得相关系数：
- 求標準偏差：分別針對雙端資料集做出。
- 套用公式：將已得协变量除以两者标准偏离数之积。
- 解讀結果：接近 ±１ 表示強烈線性依存；接近零則代表弱或無明顯線性關聯。
實務應用於金融與投資領域
投資者常利用這些指標進行決策，例如：
- 投資組合多元化依賴了解資產間之相关关系；低或負相关资产有助降低整體風險。
- 風險管理模型融入資產间协变关系，以預測市場不同狀況下潛在波動率。
- 在加密貨幣市場中，由於高波动率且与传统资产如股票或黄金之间存在不同程度关联——精确计算有助于制定避险策略或多元配置方案。
先進技術與考慮因素
現代金融分析越來越倚重複雜的方法，如copula函式，用來建模超越簡單线性交互作用之外更複雜依赖关系——尤其重要，在加密貨幣市场剧烈变动时表现尤为明显。此外，大型数据集也促使機器學習算法能夠动态更新估计，提高預測准確率，但需注意高维数据可能带来的过拟合风险。。
理解限制与风险儘管这些工具非常实用，用于评估关系时仍需留意潜在风险，
• 高相关系数可能让投资者产生虚假安全感，如果基础假设突然发生变化——特别是在市场危机期间，加密货币中的相关系数可能会突然飙升；• 若存在非线性的依赖关系，而未被简单皮尔森系数捕捉，则可能导致误判，此时使用斯皮尔曼等级相关等其他指标会更适合一些。
對於数据分析师与投资者的重要启示掌握如何准确计算协变与相关系数，有助于进行更佳风险评估，无论是在管理多元组合还是研究新兴资产类别如加密货币，都能提供更具信息价值的数据洞察，从而支持更理性的决策制定。在结合先进统计模型并理解其局限后，你可以显著增强你的分析工具箱，有效应对复杂多变的金融环境。
无论你是一名追求最优投资组合配置策略的钱包持有人，还是希望精准建模变量间依赖关系的数据分析师，这项技能都将在从你的数据集中提取有意义见解方面发挥关键作用。
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