データ分析における共分散と相関の計算方法

変数間の関係性を理解することは、効果的なデータ分析の基礎です。特に金融、経済学、投資管理などの分野では重要です。これらの関係性を定量化するために使われる代表的な指標が、「共分散」と「相関」です。両者は関連した概念ですが、それぞれ異なる目的で用いられ、計算方法も異なります。本ガイドでは、共分散と相関の両方をどのように計算するかについて解説し、その式や解釈、実務への応用例についてわかりやすく説明します。

共分散とは？

共分散は二つの変数が一緒にどのように変動するかを測る指標です。例えば、一方が増加するともう一方も増加しやすい場合には正の値になり、一方が増加するともう一方が減少しやすい場合には負の値になります。具体的には、株価など時間とともに追跡している二つの商品価格について考えるとき、一方が上昇した際にもう一方も上昇傾向なら正の共分散となります。

二つの確率変数 ( X ) と ( Y ) の間で共分散を求める数学的式は次の通りです：

[ \text{Cov}(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] ]

ここで：

• ( E[X] )、( E[Y] ) はそれぞれ ( X )、( Y ) の期待値（平均）、
• この式は、それぞれ平均からずれた値同士を掛け合わせたもののおおよその平均（期待値）を表します。

実務ではサンプルデータから推定することが一般的で、その場合次式になります：

[ s_{XY} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) ]

ここで：

• ( x_i , y_i ) は個々の観測データ点、
• ( n ) は観測数、
• ( ̄x , ̄y ) はサンプル平均。

このサンプル共分散は全てペアになった観測値同士の商品和を合計し、その後自由度調整として観測数 minus 一（( n−1)) で割って求めます。

相関とは？

相関は共分散を標準偏差によって規格化したものであり、「次元なし」の尺度となっています。そのため異なる単位やデータセット間でも比較しやすくなっています。単純に二つの変数がお互いどう動いているかだけでなく、その強さも示します。

ピアソン積率相関係数 (( r)) の計算式は以下です：

[ r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y} ]

ここで：

• ( σ_X , σ_Y ) はそれぞれ各変数の日常的な標準偏差、

この比率によって結果は -1 ～ +1 の範囲内になります：

• +1：完全正比例線形関係
• -1：完全負比例線形关系
• ゼロ付近：ほぼ無関連または非線形依存

実際にはサンプルデータから次式でも求められます：

[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{(n−1)s_x s_y}]

この公式からわかる通り、相関係数は各変数個別の日常的なばらつき（標準偏差）と、それらがお互いどれだけ密接して動いているか（協調性）を見るものです。

共分散・相関計算ステップバイステップ

共分散の場合：

１．平均値 を計算
２．偏差 を求める：各観測点から平均値引く
３．偏差同士 を掛け合わせる
４．これら全て合計
５．自由度補正として「観測点総数 minus 一」で割る

相関の場合：

１．まず 標準偏差 をそれぞれ求める
２．先ほど得た 共分散 に対して、この2つ의 標準偏差積으로除する
３．結果を見る：絶対値±１付近なら強い直線依存性；ゼロ付近なら弱またはいわゆる非線形依存

金融・投資への実践応用例

投資家たちはこれら指標を広範囲に利用しています。

• ポートフォリオ多様化では低または逆方向コリレーション資産選択によってリスク軽減
• リスク管理モデルでは複合資産間協調性予想へ活用
• 仮想通貨市場では高ボラティリティながら伝統資産との連動度把握によってヘッジ戦略立案

高度技術＆留意点

現代金融分析ではコピュラ函数などより複雑な依存構造モデルも採用されており、市場混乱時にも対応できる高度解析手法へ進化しています。また機械学習技術との連携によって、大規模データセットからダイナミック推定更新も可能となっています。ただし、多次元空間特有のおそれある過剰適合にも注意しましょう。

制約とリスク理解

便利ながら完璧ではありません。

• 高コリレーション状態でも、市場環境急変時には突然スパイクして誤った安心感につながり得ます。
• 非線形依存性の場合にはピアソン係數だけだと見落とす可能性があります。この場合スピアマン順位相関等他指標利用がおすすめです。

データ分析者・投資家への重要ポイント

正確な共分散・相関計算法則理解こそ、多角的ポートフォリオ管理や新興資産クラス解析時にも役立ち、市場不確実性下でもより良い意思決定支援につながります。伝統的方法＋高度統計モデル併用＋その限界認識こそ、有効なツールキット拡充につながります。

あなたが最適ポートフォリオ戦略策定者でも、新興暗号通貨など新しい対象物理証明型分析者でも、この基本技能—これらメトリクス正確把握—こそ最重要と言えるでしょう。それによって意味ある洞察力獲得へ大きく前進できます。